Das Frühjahrssemester 2021 findet bis auf Weiteres online statt. Ausnahmen: Veranstaltungen, die nur mit Präsenz vor Ort durchführbar sind. Bitte beachten Sie die Informationen der Dozierenden.

401-0141-00L  Lineare Algebra und Numerische Mathematik

SemesterHerbstsemester 2016
DozierendeV. C. Gradinaru, R. Käppeli
Periodizitätjährlich wiederkehrende Veranstaltung
LehrspracheDeutsch


KurzbeschreibungEinführung in die Lineare Algebra und die Numerische Mathematik unter Betonung sowohl abstrakter als auch algorithmischer Aspekte.
LernzielGrundkenntnisse in linearer Algebra und Numerik erwerben.
Einfuehrung in abstraktes und algorithmisches Denken auf der Grundlage von mathematischen Konzepten und Modellen.
Faehigkeit, einfache Techniken aus der numerischen linearen Algebra geeignet auszuwaehlen, anzuwenden und zu implementieren (in MATLAB).
Inhalt1 Lineare Gleichungssysteme
1.1 Lineare Gleichungen
1.1.1 Definition und Notation
1.1.2 Loesungen linearer Gleichungen
1.1.3 Visualisierung von Loesungsmengen linearer Gleichungen
1.2 Lineare Gleichungssysteme: Einfuehrung
1.2.1 Definition und Loesungsmengen
1.2.2 Matrixnotation
1.3 Lineare Gleichungssysteme: Anwendungsbeispiele
1.3.1 Additive Ueberlagerung: Mischungsprobleme
1.3.2 Input-Output-Modelle aus der Oekonomie (Leontief-Modelle)
1.3.3 Signalverarbeitung
1.3.4 Flussnetzwerke
1.4 Gausselimination
1.4.1 Eliminationsidee
1.4.2 Zeilenumformungen
1.4.3 Zeilenstufenform
1.4.4 Gausselimination: Algorithmus
1.4.5 Loesungsmengen linearer Gleichungssysteme
2 Rechnen mit Vektoren und Matrizen
2.1 Vektorrechnung im Rn
2.2 Linearkombinationen und Matrix-Vektor-Produkt
2.3 Matrixprodukt
2.4 Matrixkalkuel
2.5 Inverse Matrix
2.6 Transponierte Matrix
2.7 Blockmatrixoperationen
3 Unterraeume und Basen
3.1 Erzeugnisse und Unterraeume
3.2 Lineare Unabhaengigkeit, Basis und Dimension
3.3 Bild und Kern von Matrizen, Dimensionssatz
3.4 Koeffizientenvektoren und Basiswechsel

4 Der Euklidische Raum Rn
4.1 Das Euklidische Skalarprodukt
4.1.1 Definition und Eigenschaften
4.1.2 Laenge von Vektoren im Rn
4.1.3 Winkel
4.2 Abstand
4.2.1 Abstandsbegriff
4.2.2 Ergaenzung: Quadratische Formen
4.2.3 Orthogonale Projektion
4.3 Orthogonalitaet
4.3.1 Orthogonale Vektoren
4.3.2 Orthogonale Komplemente
4.3.3 Orthogonale Matrizen
4.3.4 Orthogonalisierung
4.3.5 Vektorprodukt in R3
4.4 Lineare Ausgleichsrechnung
4.4.1 Ueberbestimmte lineare Gleichungssysteme: Beispiele
4.4.2 Kleinste-Quadrate Loesung
4.4.3 Normalengleichungen
4.4.4 Orthogonalisierungstechniken
4.5 Volumenformen und Determinanten
4.5.1 Volumen
4.5.2 Determinanten
4.5.3 Determinantenformeln
4.5.4 Determinante und Matrixprodukt

5 Numerische lineare Algebra mit MATLAB
5.1 MATLAB: Grundlagen
5.1.1 Operationen mit Vektoren und Matrizen in MATLAB
5.1.2 Visualisierung in MATLAB
5.2 Rundungsfehler
5.3 Rechenaufwand
5.4 Duennbesetzte Matrizen
5.5 Loesen linearer Gleichungssysteme und linearer Ausgleichsprobleme
5.6 MATLAB-Projekte
5.6.1 Projekt: Ideale statische Fachwerke
5.6.2 Projekt: Entrauschen eines Bildes
5.6.3 Projekt: Netzglaettung
5.6.4 Projekt: Rekonstruktion eines Dreiecksnetzes
6 Lineare Abbildungen [optional]
6.1 Wiederholung: Vektoren und Koordinaten
6.2 Konzept der linearen Abbildung
* Abbildungseigenschaften
* Komposition
* Bild und Kern
* Affine Abbildungen
6.3 Matrixdarstellung
6.3.1 Definition
6.3.2 Matrixdarstellung bei Basiswechsel
6.4 Lineare Selbstabbildungen
6.5 Projektionen
* Orhtogonalprojektionen
6.6 Isometrien im Euklidischen Raum
6.6.1 Laengenerhaltung
6.6.2 Spiegelungen
6.6.3 Drehungen
6.6.3.1 Drehungen im R2
6.6.3.2 Drehungen im R3
7 Diagonalisierung
7.1 Motivation: Lineare Rekursionen
* Lineare skalare Mehrtermrekursionen
7.2 Matrixdiagonalisierung
7.2.1 Anwendung: Geschlossene Darstellung linearer Rekursionen
7.2.2 Anwendung: Matrixfunktionen
7.3 Rechnen in Cn
7.4 Eigenwerte und Eigenvektoren
7.5 Diagonalisierbarkeit
7.5.1 Allgemeine Kriterien
7.5.2 Diagonalisierbarkeit normaler Matrizen
SkriptFür weitere Informationen: http://www.sam.math.ethz.ch/~grsam/HS16/LABAUG/index.html
LiteraturK. Nipp, D. Stoffer, Lineare Algebra, VdF Hochschulverlag ETH

G. Strang, Lineare Algebra. Springer