401-3113-12L  Binäre quadratische Formen und quadratische Zahlkörper

Semester Frühjahrssemester 2012
Dozierende G. Wüstholz
Periodizität einmalige Veranstaltung
Lehrsprache Deutsch


Kurzbeschreibung In der Vorlesung werden wir quadratische Zahlkoerper, ihren Zusammenhang mit binaeren quadratischen Formen behandeln sowie L-Reihen, die damit in Verbindung stehen.
Lernziel Die Vorlesung versucht, verschiedene Gebiete in der Algebra und der Zahlentheorie zu verbinden und ihre Zusammenhänge aufzudecken.

Quadratische Zahlkörper sind die einfachsten Beispiele von algebraischen Zahlkörpern, anhand derer man die wichtigsten Resultate aus der algebraischen Zahlentheorie exemplarisch und in diesem Fall auch sehr explizit darstellen und erhalten kann. Wir werden unter anderem die Einheiten in solchen Körpern bestimmen, was in diesem Fall effektiv mittels der Theorie der Kettenbrüche gemacht werden kann, mit der man die berühmte Pell'sche Gleichung lösen kann. Diese ist ein erstes Beispiel einer diophantischen Gleichung. Eine weitere Fragestellung ist die Zerlegung von rationalen Primzahlen. Auch das geht ganz explizt und überschaubar.

Wir werden dann das berühmte quadratische Reziprozitätsgesetz formulieren und behandeln, das eine der grossen mathematischen Leistungen von Gauss war. Dafür gibt es inzwischen zahlreiche Beweise.
Unser Zugang erfolgt über die Galoistheorie. Je nach Kenntnisstand der Teilnehmer würde ich bei Bedarf eine kurze Einführung in die Galois Theorie geben, soweit wir sie für die Herleitung des quadratischen Reziprozitätsgesetzes benötigen. Danach werden wir uns der Idealkassengruppe eines quadratischen Zahlkörpers und der Klassenzahl
zuwenden. Diese stehen in unmittelbarem Zusammenhang mit binären quadratische Formen gegebener Diskriminante, die man in Äquivalenzklassen aufteilen kann und ihnen so ebenfalls eine Klassenzahl zuweisen kann. Die Bestimmung der Klassenzahl in Abhängigkeit der Diskriminante ist ein fundamentales Problem in der Zahlentheorie. Es geht ebenfalls auf Gauss, in gewissem Masse sogar auf Euler zurück im Zusammenhang mit dem bis heute nicht gelösten Problem der "nummeri idonei" von Euer. Wir werden am Ende uns der Bestimmung aller imaginärquadratische Zahlkörper der Klassenzahl 1 zuwenden, das berühmte "Klassenzahl 1 Problem", und den Satz von Baker beweisen, der eine der herausragenden Folgen seines mit der Fields Medaille ausgezeichneten Werks über Linearformen in Logarithmen ist. Unter anderem hier spielen L-Reihen eine zentrale Rolle.

Es werden sehr wenige Grundlagen benötigt, inhaltlich wird aber hochinteressante klassische Mathematik geboten, die in den letzten Jahrzehnten hochaktuell und erfolgreich war. Sie eignet sich daher für alle Stufen in der mathematischen Ausbildung.
Inhalt P A R T I . A r i t h m e t i c - i n - q u a d r a t i c - n u m b e r - f i e l d s

LECTURE 1. Number rings
LECTURE 2. Pell's equation
LECTURE 3. Factorization
LECTURE 4. Primes in the Gaussian number ring
LECTURE 5. Ideals in quadratic number rings
LECTURE 6. Ideal factorization
LECTURE 7. Prime ideals and class group
LECTURE 8. Fractional ideals
LECTURE 9. Integral solutions of Y^2 = X^3 - d

P A R T II . I n t e g r a l - b i n a r y - q u a d r a t i c - f o r m s

LECTURE 10. Binary quadratic forms
LECTURE 11. Class group and class number
LECTURE 12. A dictionary
LECTURE 13. Representation of integers by quadratic forms
LECTURE 14. Group characters
LECTURE 11. Dirichlet's analytic class number formula
LECTURE 12. The class numer formula
LECTURE 13. Zeta function of quadratic numer fields

P A R T III . C l a s s - n u m b e r s

LECTURE 14. Genera and nummeri idonei
LECTURE 15. The Class number Problem
LECTURE 16. Linear forms in Logarithms

P A R T IV . Q u a d r a t i c - r e p r o c i t y

LECTURE 17. Galois theory
LECTURE 18. Gauss' quadratic reciprocity law
Literatur H. Koch, Zahlentheorie. Vieweg Studium: Aufbaukurs Mathematik 72, Vieweg Verlag, Braunschweig, 1997.
F. Lemmermeyer, Quadratische Zahlkörper, Skript, 1999.
J. Neukirch, Algebraic number theory, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 322, Springer Verlag, 1999.
G. Wüstholz, Algebra, Vieweg Verlag, 2011.
D. Zagier, Zetafunktionen und quadratische Körper. Hochschultext, Springer-Verlag, 1981.